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ArcTan(x)、dArcTan(x)の多項式近似

1次関数が分からないきkidsがarctan(x)の多項式近似に興味があるらしい。
 
πとの関係でしょうか?
 
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xが-1~+1 までは収束するが、項を多くしても1や-1を超えるとarctan(x)ではないと文句を言っている。Grapesで確認している。
 
それがxゼロ近傍でのテイラー展開(マクローリン)でしょうと言っても聞く耳をもたない!困ったものだ。受け付ける概念は多項式展開と無限級数なのである。
 
古代インドMathのMadhava流の2次の分数式も面白いとKids。
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blogs.yahoo.co.jp/fermiumbay2/38729661
 
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arctan(x)の無限級数展開はイギリスのGregoryの業績である。
 
 
arctan (x) = x - (1/3) x3 + (1/5) x5 -+ ...
 
 
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ライプニッツはx = 1を代入してπ/41 - 1/3 + 1/5 - 1/7 .........のように示し、
 
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神は奇数を好むなどと戯れ事を言ってNewtonの失笑を買った話は私塾の老先生がKidsに語ったことであるらしい。さらにこのGregory級数は南インドの女性数学者Madhavaが見つけていたという。
 
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そんな話は私も学校数学では習わなかったが、とても印象深い話ではある。
 
収束は遅いが次のようである。
 
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どうやって見出したのかが賢い欧米Kidsの興味であるが、1/4円と正8角形から導出される筈である。
 
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storyofmathematics.com/indian_madhava
 
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さてKidsよ、鬼のようにdArctan(x)/dx = 1/(1+x^2)の多項式近似を進めるが、項数を増やしても|x|  >1の領域の再現はできないよ!
 
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Kidsよ嫌いな式展開も少しは興味を持ってHoffmanさんの本で学んでね。
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