arctan(x)の無限級数展開を教えてというKids
１次関数の意味もわかんない！というKidsが無限級数展開に興味をもった？？中学、高校では教えているのか？
私塾の老先生も大根干しに忙しいのでまだ習っていないのか？Kids１人当たり数千円の月謝では生活できまい。
さて大学で私も無限級数展開などと言う面白いことを習った記憶がない。微積の歴史というか始まりを知りたいのにすぐテーラー展開とかマクローリン展開と聞くと気が萎えてしまうのであった。教員はお構い無しに強引に演習問題ばかりで我々を攻めていた。
Kidsも無限級数展開という言葉に不思議さうを感じて興味をもったものと思われる。
まず手計算でarctan(x)などの３種のグラフを作成した後に優れたグラフソフトGrapesを用いてarctan(x)のグラフをその微分グラフを学ぶ。老先生はかならずKidsらに手計算の重要性（但し電卓使用はOK）を述べるのである。
arcsin(x)のグラフ作成であれば主要な点をポイントさせる。
sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(-π/2) = -1, sin(-π) = 0 等
このような地道な教えが効果的である。
y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)のグラフをy = xで折り返してarcsin(x)のグラフを予想させるのも効果があるようだ。
説明も英語でできるように指導。KidsらはX-boxで英米のKidsらと戦争用語で会話はできるが学校英語は苦手！
最終結果をGrapesで描いてもらう。赤のy = arctan(x)のslopeを心して見よと老先生の言葉の言葉があるらしい。Kidsは
「ｘ＝0付近では接線の傾きは１ですがだんだんと小さくなり＋－∞ではゼロになります」
と答える。そこで先生は赤は線のd(tan-1(x))/dxのグラフを指し示し納得させる。
３種の逆三角関数のグラフとその微分形。y = arcsin(x)のグラフは赤のもの。青のy = sin(x)の[-π/2,π/2]区間であることに注意させる。両グラフがy = xに関して対称であることを紙を折って実感させる。
tan(x)同様にy = arcsin(x)の接線の傾きの特徴を調べてもらう。すぐx = 1付近でフラットでxを＋－側に変化させると段々と大きくなり＋－１で∞になることを確認させ、darcsin(x)/dx = 1/√(1-x^2)であることを指し示す。
y = arccos(x)においても同様なことを行い、darccos(x)/dx = - 1/√1 - x^2であることをグラフで確認。
さて問題のarctan(x)の無限級数展開はアメリカKidsも好きらしい。
math.stackexchange.com/questions/29649/why-is-arctanx-x-x3-3x5-5-x7-7-dots
１を１－ｙで割ると無限級数が展開される。そのｙにｘ^2を代入する。
＋－の符号交代級数が得られ、次に項別積分である。KidsにはΣ表示は不要である。
後は好きなようにRatio Test。x = 1を代入してπ/4のScotlandのグレゴリー無限展開Gregory's Seriesが得られることをコメント。Kidsらは目を見張る。奇数分の１の交代級数にライプニッツが「神は奇数を好む」などと戯言？πのLecは冬休みにしましょうと老先生。楽しみである。
Arcsin(x)なども同様に。Newtonの２項展開の係数を負や分数に敷衍したのも興味深いが次の機会にしようと老先生Kidsに語る。