とうとう、この質問かと思った。学校数学嫌いのＫｉｄｓは奇妙な質問ばかりする。学校数学Ｔｏｐだった私は円の面積がπr^2なのを何故？などと考えたことも一度もなかった！公式を多数暗記して他人に勝つために多くの問題演習に明け暮れた高校、大学生活であった。
数学が出来れば友人間でも鼻高々であったのである。そんな自分にS＝πr^2？などという質問はπとは何かと同様に愚問であったろう。
Kidsが高校数学IIIを学ぶと置換積分による方法でS＝πr^2を習う筈です。実際は高校の先生からこれは循環論法であるなどと脅されて、積分が嫌になりますが。
Kidsが通う私塾の老先生に言わせると気にしなくて良いとの返答。高校では積分計算さえ出来れば良いと。
それでも嫌ならsin, cos関数の無限級数表示（Euler）でOK。もちろんアルキメデスの方法（区分求積）でも可でしょうとのこと。
私の考えでは、老先生のsin, cos関数の無限級数表示には賛成だが、円の面積に関しては短冊積分や同心円積分、微小円素片積分など様々な別の証明があるので循環論法と高校レベルで騒ぐ必要もないと思う。
健康な頭の持ち主のKidsにはZap教授の方法が明快で良いのではないでしょうか。辛気くさい循環論法などの指摘は数学の先生に任せておけば良い。
Professor Zap uses the integral formula int (cos^2(x) dx = 1/2(x + (sin(2x))/2) to compute the area of a circle of radius R.
Using integrals to compute the area of a circle
Image may be NSFW.
Clik here to view.
Clik here to view.
Image may be NSFW.
Clik here to view.
Clik here to view.
Image may be NSFW.
Clik here to view.
Clik here to view.
＊蟹江さん訳の解析教程〈上〉: E. ハイラー, G. ワナーでは、実用的な話が載っている。即ちケプラー、ライプニッツが示唆した微細三角形の０から２πまでの積分
S＝ int[0, 2π](1/2)r^2θdθ = (1/2)r^2∫[0, 2π]θdθ= (1/2)r^2 ×2π = πr^2
で充分。
極座標で半径r～r＋ｄrと角度θ～θ＋ｄθで囲まれる微小面積素片dSを考え、
dS= r・dr・dθ。Ｓ = ∫dS =∫[0,r]∫[0,2π]r dr dθ＝∫[0,r]2πR dR ＝πr^2
でもＯＫ．
Kidsらはarcsinが含まれる下記の解法が好きである。私塾の老先生はＫｉｄｓらの頭はまだ未熟なので積分という魔術の使用を禁止しているらしい。
√（r^2 - ｘ^2）の不定積分を下記のようにして
∫√（r^2 - x^2）dx = ∫rcosθ・rcosθdθ
= r^2∫cos^2θdθ = (r^2)(θ/2 + sin2θ/4)
= (r^2)(θ/2 +sinθcosθ/2)
= (r^2)/2〔arcsin(x/r) + (x/r)√（1 - (x/r)^2）〕+ C
(1/2〔r^2・arcsin(x/r) + x√（r^2 - x^2）〕+ C)
でもＯＫ．
＊＊ Image may be NSFW.
Clik here to view. ここでx = rsinθ、dx = rcosθdxに留意。cos^2θ = (1 + cos2θ)／2もdon't forget! もちろん√（r^2 - ｘ^2）= r（1 - sin^2θ）= rcosθもね。
Clik here to view.
ここでx = rsinθ、dx = rcosθdxに留意。cos^2θ = (1 + cos2θ)／2もdon't forget! もちろん√（r^2 - ｘ^2）= r（1 - sin^2θ）= rcosθもね。最後に定積分であるが、すぐ半円の面積とわかるので計算も不要かな。
∫[－r, r]√（r^2 - ｘ^2）dx
= 2∫[0, r] √（r^2 - ｘ^2）dx
= [(r^2・arcsin(x/r) + x√（r^2 - x^2）][0, r]
= r^2・arcsin(r/r)
= (π/2)r^2